杨义先，钮心忻
（北京邮电大学 信息安全中心，北京 100083）
编者按：对技术水平有限的（经济）黑客来说，如何通过“田忌赛马”式的组合攻击策略来实现“黑产收入”最大化呢？是否存在这种最优的攻击组合呢？本文作者借助股票投资领域中的相关思路和方法，得到了一些有趣的结果。比如，给出了黑客同时攻击m个系统的对数最优攻击组合策略，它不但能使黑客的整体收益最大化，而且能够使每轮攻击的收益最大化；如果采用对数最优的攻击组合策略，那么黑客攻击每个系统的“投入产出比”不会在本轮攻击结束后发生变化；如果黑客还能够通过其他渠道获得一些“内部消息”，那么他因此多获得“黑产收入”的增长率不超过“被攻击系统的“投入产出比”与“内部消息”之间的互信息”；如果随时间变化的被攻击系统是平稳随机过程，那么黑客的最优攻击增长率是存在的。所得结论是，熵越小的黑客攻击策略，所获得的“黑产收入”越大。阅读原文可登录科学网：。
0引言
由于政治黑客后台很硬，不计成本，不择手段，耐得住寂寞，因此，从纯技术角度看，政治黑客是最牛的黑客，他们的攻击力远远超过经济黑客等普通黑客。
为了量化分析（因为政治问题无法量化），参考文献［1］不得不用“宰牛刀”来“杀鸡”（即用政治黑客的技术来为经济黑客的利益服务），给出了最牛黑客的完整静态描述，并且给出了他们的最佳组合攻击战术。但是，并不是所有黑客都能够达到如此高的技术极限，甚至这样的黑客也许可望而不可及。
幸好，经济黑客的主要目标是获取最大的“黑产收入”，而不是要伤害被攻击系统（政治黑客刚好相反，他的目标是伤害对方，而非获得经济利益），当然，经济黑客也不会有意去保护对手。所以，经济黑客的技术水平虽然有限，但是，他们可以依据已有的技术水平，像“田忌赛马”那样，通过巧妙地“组合攻击”来尽可能实现收益最大化。
黑客攻击和炒股其实很相像。实际上，政治黑客的攻击就像“庄家炒股”，虽然他对被攻击系统（待炒的股票）的内部情况了如指掌，但是，他的期望值也很高，不出手则已，一旦出手就要摧毁目标（赚大钱），因此，一旦行动起来，其战术就非常重要，不能有任何细节上的失误，否则前功尽弃。事实证明，“庄家炒股”也有赔钱的时候，同样，政治黑客的攻击也有失手的时候，基本上都是输在战术细节上。
经济黑客的攻击就像“散户炒股”，虽然整体上处于被动地位，资金实力也很差，但是自身的期望值并不很高，只要有钱赚，哪怕刚够喝稀饭。经济黑客的攻击（散户的炒股）当然不能靠硬拼，必须讲究战略，比如：（1）正确选择被攻击系统（待炒的股票），若目标选错了，当然要赔本；（2）合理分配精力去攻击所选系统（炒作所选股票），既不要“在一棵树上吊死”，也不能“小猫钓鱼”（既不能把资金全部投到某一支股票，也不要到处“撒胡椒粉”）。事实证明，散户炒股也有赢钱的时候，只要他很好地运用了相关战略（即选股选对了，在每支股票上的投资额度分配对了）。同样，如果经济黑客正确地把握了相关战略,他也有可能获利。本文将给出一些确保黑客获利的“对数最优”战略，当然，本文的结果也可帮助散户股民炒股，前提是他们能够读懂此文（我相信普通的经济黑客是可以读懂此文的）。
过去若干年以来，人们已经在投资策略（包括炒股）方面进行了大量研究，并由此丰富了博弈论的内容。本文的许多思想、方法和结果也是来源于这些理论。
1对数最优攻击组合
设黑客想通过攻击某m个系统来获取其经济利益，并且根据过去的经验，他攻击第i个系统的“投入产出比”是随机变量Xi（≥0, i=1,2,…,m），即攻击第i个系统时，若投入1元钱，则其收益是Xi元钱。记收益列向量X=(X1,X2,…,Xm)T服从联合分布F(x)，即，X～F(x)。
从经济角度看，所谓黑客的一个攻击组合，就是一个列向量b=(b1,b2,…,bm)T,bi≥0, ∑bi=1，它意指该黑客将其“用于攻击的资金总额”的bi部分，花费在攻击第i个系统上(i=1,2,…,m)。于是，在此组合攻击下，黑客的收益便等于。S显然也是一个随机变量。
当本轮组合攻击完成后，黑客还可以发动第2轮、第3轮等组合攻击，即黑客将其上一轮结束时所得到的全部收益按相同比例b分配，形成新一轮的攻击组合b。下面将努力寻找最佳的攻击组合b，使得经过n轮组合攻击后，黑客的收益S在某种意义上达到最大值。
定义1：攻击组合b关于收益分布F(x)的增长率，定义为：
如果该对数的基底是2，那么，该增长率W(b,F)就称为双倍率（见参考文献［1］）。攻击组合b的最优增长率W*(F)定义为：