模式识别、推荐系统中常用的两种矩阵分解

第一部分：矩阵的奇异值分解：

矩阵的奇异值分解证明过程中会用到五个定理，先作为补充知识展示这五个定理：

定理一：A是对称矩阵，则不同特征值对应的特征向量是正交的。

证明：设，

是矩阵A的特征向量，且，，

为，

对应的特征向量，即：

，

则

，

因为A是对称矩阵，则

所以，

则：

因为

，

所以：

，

即：和

是正交的。证毕

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定理二：矩阵和它的转置

具有相同的特征值

证明：因为：

，

即和

有相同的特征多项式，所以有相同的特征值。

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定理三：半正定矩阵的特征值均大于等于零

证明：这是半正定矩阵的定义

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定理四：若满足,则称是单位正交矩阵

单位正交矩阵有如下的性质：。