正定矩阵和半正定矩阵 (3)

当我们希望

[公式]

对于任意向量

[公式]

都恒成立,就要求矩阵

[公式]

是一个半正定矩阵,对应于二次函数,

[公式] 需要使得

[公式]

.

另外,在

[公式]

中,我们还知道:若

[公式] ,则对于任意

[公式]

,有

[公式] 恒成立。

这在

[公式]

也有契合之处,当矩阵

[公式]

是正定矩阵时,对于任意

[公式]

[公式] 恒成立。

3. 正定矩阵和半正定矩阵的直观解释

若给定任意一个正定矩阵

[公式]

和一个非零向量

[公式]

,则两者相乘得到的向量

[公式]

与向量

[公式]

的夹角恒小于

[公式]

. (等价于:

[公式] .)

【例3】给定向量

[公式]

,对于单位矩阵

[公式]

,则

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