十分钟弄懂:数据结构与算法之美 - 时间和空间复杂度 (3)

均摊时间复杂度(amortized time complexity): 在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度,个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时,可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。

举例说明:

// n 表示数组 array 的长度 function find(array, n, x) { let i = 0; let pos = -1; for (; i < n; ++i) { if (array[i] == x) { pos = i; break; } } return pos; }

find 函数实现的功能是在一个数组中找到值等于 x 的项,并返回索引值,如果没找到就返回 -1 。

最好情况时间复杂度,最坏情况时间复杂度

如果数组中第一个值就等于 x,那么时间复杂度为 O(1),如果数组中不存在变量 x,那我们就需要把整个数组都遍历一遍,时间复杂度就成了 O(n)。所以,不同的情况下,这段代码的时间复杂度是不一样的。

所以上面代码的 最好情况时间复杂度为 O(1),最坏情况时间复杂度为 O(n)。

平均情况时间复杂度

如何分析平均时间复杂度 ?代码在不同情况下复杂度出现量级差别,则用代码所有可能情况下执行次数的加权平均值表示。

要查找的变量 x 在数组中的位置,有 n+1 种情况:在数组的 0~n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下,查找需要遍历的元素个数累加起来,然后再除以 n+1,就可以得到需要遍历的元素个数的平均值,即:

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省略掉系数、低阶、常量,所以,这个公式简化之后,得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

我们知道,要查找的变量 x,要么在数组里,要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦,我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外,要查找的数据出现在 0~n-1 这 n 个位置的概率也是一样的,为 1/n。所以,根据概率乘法法则,要查找的数据出现在 0~n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

因此,前面的推导过程中存在的最大问题就是,没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去,那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样:

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这个值就是概率论中的 加权平均值,也叫 期望值,所以平均时间复杂度的全称应该叫 加权平均时间复杂度 或者 期望时间复杂度

所以,根据上面结论推导出,得到的 平均时间复杂度 仍然是 O(n)。

均摊时间复杂度

均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度 (应用场景非常特殊,非常有限,这里不说)。

3.6 时间复杂度总结

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:

O(1) < O(logn) < (n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)

常见的时间复杂度:

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3.7 空间复杂度分析

时间复杂度的全称是 渐进时间复杂度,表示 算法的执行时间与数据规模之间的增长关系

类比一下,空间复杂度全称就是 渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示 算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

定义:算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法的空间复杂度的计算公式记作:S(n) = O(f(n)),其中,n 为问题的规模,f(n) 为语句关于 n 所占存储空间的函数。

function print(n) { const newArr = []; // 第 2 行 newArr.length = n; // 第 3 行 for (let i = 0; i <n; ++i) { newArr[i] = i * i; } for (let j = n-1; j >= 0; --j) { console.log(newArr[i]) } }

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